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4.1 Elementi circuitali per l'accumulo di energia

4.1.1 Introduzione

Il resistore ideale è stato introdotto tramite la legge di Ohm nel Capitolo 2 come una utile idealizzazione di molti dispositivi elettrici reali. Tuttavia, in aggiunta alla resistenza al flusso della corrente elettrica, che è un fenomeno puramente dissipativo, i dispositivi elettrici possono anche manifestare proprietà di accumulo dell'energia, più o meno allo stesso modo in cui una molla può immagazzinare energia meccanica.
     Nei circuiti elettrici esistono due differenti meccanismi per l'accumulo di energia: la capacità e l'induttanza, entrambi conducenti all'accumulo di energia in un campo elettromagnetico. Per gli scopi che ci proponiamo, non sarà necessario entrare nell'analisi elettromagnetica dettagliata di questi dispositivi. Piuttosto, verranno introdotti due elementi circuitali ideali per rappresentare le proprietà di accumulo capacitivo ed induttivo di energia: il capacitore (detto anche condensatore) ideale e l'induttore ideale. Questi sono dispositivi dinamici poiché, come vedremo, sono descritti da equazioni differenziali. Va detto chiaramente che capacitori ed induttori ideali non esistono, rigorosamente parlando; tuttavia, proprio come nel caso del resistore ideale, questi elementi "ideali" sono molto utili per la comprensione del comportamento dei circuiti reali. In pratica, ogni componente di un circuito elettrico mostrerà un po' di resistenza, un po' di induttanza ed un po' di capacità, cioè presenterà un po' di dissipazione di energia ed un po' di accumulo di energia.
     La situazione qui descritta è completamente analoga alla descrizione comunemente data ai sistemi meccanici, i quali implicano elementi frizionali, elastici ed inerziali (ossia smorzatori, molle e masse). L'analogia con i sistemi meccanici sarà sviluppata in parallelo con la descrizione dei nuovi elementi circuitali.



4.1.2 Il capacitore ideale

Il capacitore (o condensatore) è un dispositivo che può immagazzinare energia sotto forma di campo elettrico, mediante separazione di carica. Supponiamo che una batteria sia collegata a due corpi conduttori separati da un mezzo isolante (figura 4.1). La batteria determinerà un trasferimento di carica da un corpo all'altro, lasciando un corpo con una carica positiva e l'altro con una carica negativa uguale in modulo.


Figura 4.1

La quantità di carica trasferita da un corpo all'altro è determinata dalla tensione della batteria, la grandezza e la forma dei corpi, la distanza tra i corpi stessi e dalla permeabilità del mezzo che separa i corpi. Ricordiamo qui che la permeabilità è una proprietà del mezzo; vi sono due tipi di permeabilità: la permeabilità elettrica (che è quella qui considerata) e la permeabilità magnetica (che ci servirà in seguito a proposito dell'induttore).
     Perciò, ad esempio, se diminuisce la distanza tra i corpi, aumenta la quantità di carica che viene trasferita. Anche l'aumento della tensione della batteria incrementa la quantità di carica che viene trasferita. Specificatamente, se Q è la quantità di carica in Coulomb trasferita dal corpo A al corpo B, allora:

Q = CV          (F4.1)

dove V è la differenza di potenziale del corpo A rispetto al corpo B in volt, e C è una costante chiamata capacità ed è espressa in farad (F). Il farad è un'unità troppo grande per poter essere adoperata; pertanto si usano comunemente i sottomultipli come il microfarad (1 µF = 10-6 F) o il picofarad (1 pF = 10-12 F). La capacità è una quantità positiva che è funzione dell'area superficiale dei corpi, della permeabilità del mezzo e della distanza tra i corpi. L'esperienza mostra che la capacità aumenta se diminuisce la distanza tra i corpi e/o se aumenta l'area superficiale dei corpi stessi. Anche l'incremento della permeabilità del mezzo che separa i corpi determina un aumento della capacità.

Figura 4.2

Il condensatore non è altro che un dispositivo che si fonda su quanto appena detto; se consideriamo la più semplice configurazione di un capacitore, consistente in due superfici piane conduttrici di uguale forma (ad esempio circolare) e area (pari ad A), distanti tra loro d e separate dal vuoto (figura 4.2), dalla formual 4.1 si ha:

Q = C0V0

ove il pedice "0" sta ad indicare che tra le due superfici piane (chiamate armature) vi è il vuoto, Q è la carica presente sulle armature (sulla armatura con segno "+" si ha +Q, su quella con segno "-" si ha -Q), e V0 è la differenza di potenziale tra le armature. Da quanto detto, risulta poi che, per questo tipo di condensatore:

C0 = ε0A / d          (F4.2)

ove ε0 è la permeabilità elettrica del vuoto (anche il vuoto è un materiale isolante; i materiali isolanti sono anche detti dielettrici per cui ε0 è anche detta costante dielettrica del vuoto). Nel caso di geometrie diverse da quella piana, la capacità ha una diversa espressione, ma è comunque proporzionale alla permeabilità elettrica del vuoto.



4.1.3 Costante dielettrica relativa

Lasciando invariata la geometria del condensatore e la carica presente sulle armature, riempiamo ora uniformemente l'intercapedine compresa tra le armature stesse di figura 4.2 con un materiale isolante omogeneo ed isotropo (in una sostanza isotropa le proprietà fisiche non dipendono dalla direzione in cui si analizza la sostanza stessa), non dotato di alcuna carica: si osserva allora che tra le armature si stabilisce una differenza di potenziale V < V0. In base alla formula 4.1, ciò significa che in presenza del dielettrico la capacità C del condensatore è maggiore della capacità C0 che esso aveva quando fra le armature vi era il vuoto. Possiamo perciò definire la costante dielettrica (ovvero permeabilità elettrica) relativa così:

εr = C / C0          (F4.3)

e si ha che è sempre εr > 1 ed è un numero adimensionale. Dalle formule 4.2 e 4.3 si ricava:

C = εrC0 = ε0εrA / d = εA / d          (F4.4)

ove la costante:

ε = ε0εr > ε0          (F4.5)

è la costante dielettrica assoluta del materiale in esame. Valori tipici della costante dielettrica relativa, per alcuni comuni materiali dielettrici, sono quelli riportati in tabella 4.1.

 

Tabella 4.1
Materiale εr
aria (1 atm.) 1.0006
olio per trasformatori 2.2
quarzo (SiO2) 4.3
porcellana 6 ÷ 8
vetri 4 ÷ 7
acqua (liquida) 80
cera 2.3

In sostanza, possiamo dire che l'effetto della presenza di un materiale isolante è di diminuire, fissata la carica Q, il valore del potenziale tra le armature per un fattore detto costante dielettrica relativa. La permeabilità assoluta del vuoto è:

ε0 = 8.854 × 10-12 F/m

 

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