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4.2 Il condensatore

4.2.1 Circuito aperto

Si è visto nella lezione precedente che la presenza di un materiale isolante tra le armature del condensatore non permette il passaggio della corrente continua; di conseguenza, in presenza di corrente continua, un condensatore si comporta come un circuito aperto. Tuttavia, se la tensione presente ai morsetti del condensatore cambia in funzione del tempo, cambierà anche la carica presente sulle armature del condensatore, dal momento che il grado di polarizzazione del dielettrico è funzione del campo elettrico applicato, che è tempo-variante. In un condensatore, la separazione di carica causata dalla polarizzazione del dielettrico è proporzionale alla tensione esterna, cioè al campo elettrico applicato:

Q = CV

che è proprio la formula 4.1 vista nella lezione precedente. Se la tensione esterna applicata alle armature del condensatore cambia nel tempo, cambierà la carica immagazzinata internamente dal condensatore:

q(t) = Cv(t)      (F4.6)

Perciò, benché non possa passare corrente attraverso il condensatore se la tensione ai suoi capi è costante, una tensione tempo-variante farà variare la carica nel tempo. La variazione nel tempo della carica immagazzinata è analoga ad una corrente: questo lo si può facilmente vedere se ricordiamo la definizione di corrente data nel Capitolo 2 (formula 2.2):

i(t) = dq(t) / dt      (F4.7)

cioè, la corrente elettrica corrisponde al tasso di variazione nel tempo della carica. Differenziando l'equazione 4.6, si può ottenere una relazione tra la corrente e la tensione in un condensatore:

i(t) = C × dv(t) / dt      (F4.8)

Si può notare che se v non dipende dal tempo, cioè v(t) = V = costante, allora i(t) = 0, cioè non si ha passaggio di corrente, come preannunciato.



4.2.2 Caratteristica del condensatore

L'equazione 4.8 è la legge circuitale che definisce un condensatore. In termini di caratteristica, il condensatore è un elemento a due terminali definito dalla relazione:

fC(q, v, t) = 0

Se fC non dipende dal tempo, allora il condensatore è tempo-invariante, cioè fC(q, v) = 0, che è, matematicamente, la forma implicita della 4.6. Se la capacità C è una costante, il condensatore è lineare e tempo-invariante (cioè la capacità non varia, mentre possono tranquillamente variare q e v). In tal caso, la caratteristica q-v è una retta passante per l'origine, come mostrato in Figura 4.3.


Figura 4.3

Può essere interessante esaminare l'analogia tra l'equazione F4.8 e l'equazione che descrive il comportamento di una forza nei confronti di una data massa. Se u(t) rappresenta la velocità della massa M e f(t) rappresenta la forza che agisce su di essa, la legge di Newton stabilisce che:

f(t) = Mu(t)      (F4.9)

Il principio è illustrato in Figura 4.4.

 
i(t) = C × dv(t) / dt   f(t) = M × du/dt

Figura 4.4 Analogia forza/massa con corrente/capacità

Se andiamo ad integrare l'equazione differenziale che definisce la relazione i-v per un condensatore, si può ottenere la seguente relazione per la tensione presente ai capi del condensatore:

vc(t) = 1/C × -∞t ic(τ)dτ       (F4.10)

e da questa, ricordando la F4.6, si ricava la carica q(t) associata al condensatore all'istante arbitrario t:

q(t) = -∞t ic(τ)dτ       (F4.10)

L'equazione 4.10 mostra che la tensione del condensatore dipende dalla "storia" del condensatore, dal lontano passato fino all'istante t al presente.
   Naturalmente, di solito non si hanno precise informazioni riguardanti la corrente passata per il condensatore ad ogni istante, ed è perciò utile definire la condizione iniziale, ossia una tensione V0=vc(t0) ove t0 è un istante arbitrario di tempo:

V0 = vc(t=t0) = 1/C &times -∞t0 ic(τ)dτ       (F4.11)

La tensione del condensatore è ora data dall'espressione:

vc(t) = 1/C × t0t ic(τ)dτ + V0 per tt0      (F4.12)

Il significato della tensione iniziale V0 è semplicemente che al tempo t0 un po' di carica è immagazzinata nel condensatore, dando luogo ad una tensione vC(t0) in base alla relazione Q = CV. La conoscenza di questa condizione iniziale è sufficiente per considerare l'intera storia passata della corrente del condensatore. Si noti, poi, che un condensatore lineare con tensione iniziale v0 è indistinguibile esternamente da un bipolo formato da un condensatore inizialmente scarico in serie con un generatore di tensione v0, come mostrato in figura 4.5. 

Figura 4.5

 Un'altra proprietà importante dei condensatori è quella di continuità: se la forma d'onda della corrente  ic(t)  in un condensatore si mantiene limitata in un intervallo chiuso [ta, tb], allora la tensione vc(t) ai capi del condensatore è una funzione continua nell'intervallo aperto (ta, tb), come mostrato, ad esempio, in figura 4.6. 

Figura 4.6

Per dimostrare questa affermazione, prendiamo in esame l'intervallo [T, T+dt] compreso in [ta, tb]: si ha:

 vc(T + dt) - vc(T) = 1/C × TT+dt ic(τ)dτ

Poiché ic(t) è limitata in [ta, tb], esiste una costante finita M tale che |ic(t)| < M per ogni t. Quindi per dt → 0 si ha:

  vc(T + dt) - vc(T) = 1/C × TT+dt ic(τ)dτ → 0

ed al limite vc(T+) = vc(T-) per cui la tensione è effettivamente continua. Poichè in pratica la corrente è sempre una quantità finita, non si possono avere cambiamenti di tensione istantanei ai capi di un condensatore.

 

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