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3.2 Analisi per nodi

Nella lezione precedente abbiamo introdotto il metodo delle tensioni di nodo. Vediamo ora alcuni esempi che meglio illustrano l'approccio.

3.2.1 Esempio 1

Vogliamo risolvere il circuito di figura 3.4 ricavando le correnti e le tensioni incognite. Come si vede dalla figura 3.5, i nodi sono in tutto tre (lo si verifica facilmente facendo tendere a lunghezza zero i pezzi di ramo non essenziali). Assunto il nodo 3 come nodo di riferimento e posto il suo potenziale pari a zero, assegnati i versi (arbitrari) delle correnti, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo 1:

Figura 3.4 Figura 3.5

 

0.01 + (0 - v1) / 1000 + (v2 - v1) / 10000 + (v2 - v1) / 2000 = 0

mentre al nodo 2 si ha:

(0 - v1) / 2000 = (v2 - v1) / 10000 + (v2 - v1) / 2000 + 0.05

 

Si noti come ciascuna corrente sia stata espressa direttamente in funzione delle tensioni di nodo (la scrittura delle equazioni di nodo è nient'altro che una semplice applicazione della legge di Ohm e della legge di Kirchhoff delle correnti). Riordinando i termini e ponendo in sistema le equazioni, si ha:

(1 /1000 + 1 / 10000 + 1/2000)v1 + (-1/10000 - 1/2000)v2 = 0.01
(-1/10000 - 1/2000)v1 + (1 /1000 + 1 / 10000 + 1/2000)v2 = -0.05

Con facili calcoli, si giunge al seguente sistema lineare:

1.6v1 -0.6v2 = 0.01
-0.6v1 + 1.1v2 = -0.05

Risolvendo, si ricava v1 = -13,37 V e v2 = -52,86 V. Noti i potenziali di nodo, possiamo determinare le tensioni e le correnti di ramo nel circuito. Per esempio, la corrente che attraversa il resistore da 10 kΩ è data da:

i10kΩ = (v2 - v1) / 10000 = -3.93 mA

Il segno negativo sta ad indicare che il verso da noi (arbitrariamente) scelto per la corrente attraversante tale resistore è contrario a quello effettivo (cioè, la corrente va in realtà dal nodo 1 al nodo 2). Come ulteriore esempio, si consideri la corrente attraverso il resistore da 1 kΩ:

i1kΩ = (0 - v1) / 1000 = 13.57 mA

In questo caso la corrente è positiva, e pertanto il verso della corrente da noi prescelto è esatto. Si può continuare l'analisi ramo per ramo, iniziata in questo esempio, onde verificare che la soluzione ottenuta è effettivamente corretta.

 

3.2.2 Esempio 2

Ricavare le tensioni di nodo per il circuito di figura 3.6. Si assumano i seguenti dati:
R1 = 1 kΩ, R2 = 500 kΩ, R3 = 2.2 kΩ, R4 = 4.7 kΩ, ia = 1 mA, ib = 1 mA

 
Figura 3.6   Figura 3.7

Soluzione:
Per scrivere le equazioni al nodo, prima di tutto osserviamo (figura 3.7) che qui abbiamo tre nodi: a, b e c. Scegliamo il nodo c come nodo si riferimento, a cui assegniamo potenziale nullo. Applichiamo ora la legge di Kirchhoff delle correnti ai nodi a e b; per il nodo a si ottiene:

ia = (va - 0) / R1 + (va - vb) / R2

Per il nodo b si ha:

(va - vb) / R2 = (vb - 0) / R3 + (vb - 0) / R4

Riordinando i termini e ponendo in sistema le due equazioni, si ha:

(1 / R1 + 1 / R2)va + (- 1 / R2)vb = ia
(- 1 / R2)va + (1 / R2 + 1 / R3 + 1 / R4)vb = ib

Sostituendo i valori numerici in queste equazioni, si ottiene:

3va + 2vb = 1
-2va + 2.67vb = 2

La soluzione, va = 1.667 V, vb = 2 V può essere ottenuta risolvendo il sistema di equazioni.

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