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3.3 Regola di Cramer

3.3.1 Risoluzione di sistemi lineari di equazioni

La risoluzione di sistemi di equazioni, quali quelli che si incontrano sovente nella teoria dei circuiti, può essere ottenuta in maniera relativamente semplice usando la regola di Cramer. Il metodo si applica a sistemi di equazioni K × K con K ∈ N, K ≥ 2; infatti la regola di Cramer richiede l'uso del concetto di determinante che viene dall'algebra lineare. Il metodo del determinante è valido perché è sistematico, generale ed utile nella risoluzione di problemi complicati. Il determinante di una matrice quadrata A con 2 righe e 2 colonne si indica così:

det A = a11   a12
a21   a22

e si definisce come segue: det A = a11a22 - a12a21

Per una matrice A di terzo ordine (cioè 3 × 3) si ha:

det A = a11   a12   a13
a21   a22   a23
a31   a32   a33

ed il determinante è definito in questo modo:

det A = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)

Per determinanti di ordine superiore, si faccia riferimento ad un libro di algebra lineare. Per illustrare il metodo di Cramer, risolveremo ora un sistema di due equazioni in forma generale. Un sistema di due equazioni algebriche lineari può essere scritto nella forma:

a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2

dove x1 ed x2 sono le incognite del sistema. I coefficienti a11, a12, a21 ed a22 sono quantità note. Le due quantità b1 e b2 sono anch'esse quantità note (tipicamente, esse sono le correnti o le tensioni dei generatori in problemi relativi a circuiti). Il sistema di equazioni può essere riscritto in forma matriciale come segue:

a11   a12 x1 = b1
a21   a22 x2 b2

forma che è del tipo A × x = b. La regola di Cramer consente di trovare le componenti x1 ed x2 del vettore soluzione mediante la formula generale:

    |A*|
xi = _____
    |A|

Come si vede, la soluzione è data dal rapporto dei determinanti di due matrici, ove A* è come la matrice A tranne per il fatto che i coefficienti della colonna i-esima (che è la colonna dei coefficienti della variabile che si va a calcolare) sono stati sostituiti dai coefficienti del vettore b. Nel nostro caso si ha perciò:

   | b1   a12 |
   b2   a22
x1 =
   | a11   a12 |
   a21   a22



   | a11   b1 |
   a21   b2
x2 =
   | a11   a12
   a21   a22

Vedremo tra qualche lezione in dettaglio che in un problema di analisi dei circuiti, i coefficienti matriciali sono costituiti dai valori delle resistenze (oppure delle conduttanze), il vettore delle incognite è costituito dalle correnti di maglia (oppure dalle tensioni di nodo), ed il vettore soluzione contiene i valori delle tensioni (o delle correnti) dei generatori. Nella pratica, nei sistemi di ordine superiore al 3° i calcoli sono molti, per cui si devono impiegare opportuni software per la risoluzione dei problemi più complessi.

 

3.3.2 Esempio

Il sistema di equazioni trovato nell'esempio 3.2.2 può essere risolto con la regola di Cramer; possiamo infatti scrivere:

3   -2 va = 1
-2   2,67 v2 2

Le due incognite possono essere agevolmente ricavate:

    1   -2          
    2   2,67 (1)(2,67) - (-2)(-2) 6,67
va  =   =   =  ______  = 1,667
    ! 3   -2 |   (3)(2,67) - (-2)(-2)   4  
    -2   2,667    

    | 3   1 |          
    -2   2 (3)(2) - (-2)(1) 8
vb  =   =   =  _____  = 2
    | 3   -2 |   (3)(2,67) - (-2)(-2)   4  
    -2   2,667    

Come si vede, il risultato che si ottiene è lo stesso.

 

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