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2.15 Triangolo e stella

2.14.1 I concetti di triangolo e stella in un circuito elettrico

Nella risoluzione di reti complesse di circuiti elettrici può essere opportuno, o necessario, ricorrere alla sostituzione (parziale e successiva) di triangoli di resistenze (figura 2.55) in stelle di resistenze (figura 2.56), o viceversa:

Figura 2.55 Triangolo di resistenze



Figura 2.56 Stella di resistenze

o viceversa, sostituzioni possibili a mezzo delle seguenti relazioni: per passare dal triangolo alla stella:

Ra = RabRca / (Rab + Rbc + Rca)       (F2.33)

 

Rb = RbcRab / (Rab + Rbc + Rca)       (F2.34)

 

Rc = RcaRab / (Rab + Rbc + Rca)       (F2.35)

Per passare invece da una stella ad un triangolo:

Rab = RaRb × (1/Ra + 1/Rb + 1/Rc)       (F2.33)

 

Rbc = RbRc × (1/Ra + 1/Rb + 1/Rc)       (F2.33)

 

Rca = RaRc × (1/Ra + 1/Rb + 1/Rc)       (F2.33)

 

Ci si può chiedere se l'equivalenza della sostituzione sia vera: proviamo a vederlo in un caso: consideriamo il morsetto C scollegato da qualsiasi sistema (facciamo finta, cioè, che non ci sia). Se ho il triangolo, tra i morsetti A e B devo perciò avere:

RAB = Rab || (Rca + Rbc)       (F2.39)

Se invece ho la stella, la resistenza totale tra i morsetti A e B sarà:

RAB = Ra + Rb)       (F2.40)

Con rapidi calcoli di sostituzione, partendo dalla F2.39, ed usando la formula F2.21 per i resistori in parallelo (Cfr. Lezione 2.8), e la 2.36, 2.37 e 2.38 si può dimostrare (e la dimostrazione è lasciata per esercizio) che si arriva esattamente alla formula 2.40. Si può giungere ad un analogo risultato prendendo anche le altre due coppie di morsetti; alternativamente, è possibile partire dalla 2.40 e mostrare che tramite le 2.33, 2.34 e 2.35 si giunge proprio alla 2.39. Infine, il lettore può, per esercizio, creare altri "casi" per testare la validità dell'equivalenza triangolo-stella.



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