2.6.1 La resistenza e la legge di Ohm

Quando la corrente elettrica attraversa un filo metallico o un altro elemento circuitale, incontra una certa resistenza, la cui intensità dipende dalle proprietà elettriche del materiale. La resistenza al passaggio della corrente può essere indesiderata - per esempio nel caso di cavi per il trasporto della corrente - o può essere utilmente impiegata in un circuito elettrico. Nondimeno, praticamente tutti gli elementi circuitali presentano una certa resistenza; di conseguenza, il passaggio della corrente attraverso un elemento avrà come effetto la dissipazione di energia sotto forma di calore. Un resistore è un elemento circuitale a due terminali in cui tensione e corrente soddisfano la relazione:

       (F2.13)

Questa relazione è detta caratteristica i-v del resistore, e può essere rappresentata graficamente sul piano i-v. Il resistore ideale è un dispositivo che mostra proprietà di resistenza lineari in accordo alla legge di Ohm, che afferma che:

V = RI         (F2.14)

cioè, la tensione attraverso un elemento è direttamente proporzionale alla corrente che lo attraversa, e la costante di proporzionalità è data dalla resistenza R. In tal modo, il grafico della caratteristica di un resistore ideale è una linea retta passante sempre per l'origine degli assi del piano i-v. L'unità di misura della resistenza è l'ohm, che per la (2.14) risulta essere:

1 Ω = 1 V/A

2.6.2 Resistenza e resistività; conduttanza e conduttività

La resistenza di un materiale dipende da una proprietà chiamata resistività, che viene indicata con il simbolo ρ; il reciproco della resistività è chiamato conduttività e viene indicato con il simbolo σ. Per un elemento di resistenza cilindrico (mostrato in figura 2.21), la resistenza è proporzionale alla lunghezza del campione, l, ed inversamente proporzionale alla sua sezione trasversale, A, e conduttività, σ:

       (F2.15)

E' spesso conveniente definire la conduttanza di un elemento circuitale come il reciproco della sua resistenza. Il simbolo della conduttanza di un elemento è la G, dove:

G = 1 / R siemens (S)         dove        1 S = 1 A/V = 1 Ω^-1         (F2.16)

Perciò, la legge di Ohm può essere riscritta in termini di conduttanza:

I = GV         (F2.17)

e sarà perciò: f(v,i) = v × Ri ovvero f(v,i) = i × Gv (N.B.: v e i possono essere funzioni del tempo: in ogni caso, la linearità prevede che v(t) = Ri(t) ovvero i(t) = Gv(t) ).
     Occorre fare attenzione a non confondere i termini resistenza e resistore: la resistenza è la proprietà del materiale di opporsi al passaggio della corrente, il resistore è l'oggetto fisico che rappresenta il modello teorico. Per ogni materiale, il valore della resistività ρ dipende infatti dalla temperatura T secondo la legge:

ρ = ρ₀(1 + α(T)) × ΔT

ove α(T) è un coefficiente (detto coefficiente di temperatura) funzione della temperatura (in generale), la cui unità di misura è ppm/Kelvin o ppm/Celsius (ppm = parti per milione = 10^-6 ; è un numero puro), mentre ρ₀ è la resistività allo 0° K o C. Nell'intorno della temperatura ambiente, e per ΔT non troppo elevati, si può assumere α costante.

2.6.3 Resistenza e caratteristiche reali

La legge di Ohm è una relazione empirica che trova larghissima applicazione in elettrotecnica, a causa della sua semplicità. E', tuttavia, solo un'approssimazione della fisica dei materiali conduttori di elettricità. Tipicamente, la relazione lineare tra tensione e corrente nei conduttori elettrici non vale per alti valori di tensione e corrente. Inoltre, non tutti i materiali conduttori di elettricità mostrano un comportamento lineare anche per piccole tensioni e correnti.
   Tuttavia, è di solito vero che per un certo campo di tensioni e correnti, moltissimi elementi mostrano una caratteristica i-v lineare. La figura 2.20 illustra come il concetto di resistenza lineare si può applicare agli elementi con caratteristica i-v non lineare, definendo graficamente la porzione lineare della caratteristica i-v per due comuni dispositivi elettrici: la lampadina, già incontrata in precedenza, ed il diodo semiconduttore.

Lampadina	Diodo semiconduttore (caratteristica esponenziale)
Figura 2.20 Caratteristiche reali di due carichi

La forma tipica ed il simbolo circuitale del resistore sono mostrati in figura 2.21. Resistori fatti di sezioni cilindriche di carbonio (con resistività ρ = 3.5 × 10^-5 Ω m) sono molto comuni e sono commercialmente disponibili per un ampio campo di valori di resistenza e di potenza tollerata. Un'altra tecnica di produzione comunemente impiegata per i resistori impiega un film metallico. Nei circuiti elettronici (ad esempio nelle radio e nei televisori) è comune l'uso di resistori con potenza tollerata pari ad 1/4 W.

Rappresentazione fisica del resistore	Rappresentazione simbolica del resistore
Caratteristica i-v del resistore
Figura 2.21 Rappresentazione fisica, simbolica e caratteristica di un resistore

Per sapere la resistenza in ohm offerta dal resistore, si usa una convenzione a bande colorate, in cui ad ogni colore corrisponde un valore da 1 a 10; sul resistore vengono dipinte 4 bande: tre servono per il calcolo della resistenza (b1 ,b2 ,b3), la quarta, b4, serve per sapere la percentuale di tolleranza.

Figura 2.22 Codice a colori del resistore

La formula per calcolare R è data costruendo il numero a partire dalle bande b₁ (decina) e b₂ (unità): questo va moltiplicato per 10 elevato al valore dato dalla banda b₃:

      (F2.18)

Per esempio, se le prime tre bande colorate sul resistore sono rosso (b1 = 2), violetto (b2 = 7) e giallo (b3 = 4), il valore della resistenza è R = 27 × 10⁴ = 270000 Ω = 270 kΩ.
    In aggiunta alla resistenza in ohm, per i resistori commerciali viene solitamente specificata la massima dissipazione di potenza consentita, ovvero la massima potenza tollerata (power rating = letteralmente "tasso di potenza"). Se si supera la potenza tollerata, si ha surriscaldamento ed il resistore può letteralmente prendere fuoco. Per un resistore R, la potenza dissipata è data dalla legge di Joule:

      (F2.19)

cioè, la potenza dissipata da un resistore è proporzionale al quadrato della corrente che lo attraversa, come anche al quadrato della differenza di potenziale ai sui estremi.

2.6.4 Esempio 1

Una tipica potenza massima tollerata per un resistore al carbonio impiegato in circuiti elettronici a bassa potenza è 1/4 W. Qual è il valore di resistenza che deve avere il più piccolo resistore a 1/4 W per poterlo collegare ad una pila da 1,5 V (figura 2.23)?

Soluzione:
Per ricavare la resistenza R, calcoliamo prima la potenza dissipata dal resistore come funzione della sua resistenza. Dalla legge di Joule si ha:

P = VI = V(V/R) = V²/R = 1,5²/R

Poiché la massima potenza tollerabile è 1/4 W, possiamo scrivere:

P = 0,25 = 2,25/R     da cui:     R = 2,25 / 0,25 = 9 Ω

Pertanto R deve essere almeno di 9 Ω.

Figura 2.23	Figura 2.24

Come cambierebbe questo risultato se la tensione venisse raddoppiata? Con facili conti si trova che la potenza dissipata è ora data da P = 32/R, e che perciò R deve essere almeno di 36 Ω per non superare la massima potenza tollerata. Questo risultato è mostrato in figura 2.24. Si noti l'effetto della relazione quadratica: raddoppiando la corrente, R aumenta di un fattore pari a 4.

2.6.5 Esempio 2: trasduttore resistivo a spostamento

Il principio illustrato in questo esempio è alla base di molti trasduttori a spostamento in commercio. Il resistore in figura 2.25 è un resistore a serpentina filiforme - cioè, è un resistore fatto di un sottile filo a spira elicoidale molto stretta - che presenta una resistenza di 0.1 Ω per spira.
   Il puntatore collegato al carrello mobile fa contatto con il resistore, chiudendo, così, il circuito a distanza x dall'origine. Ogni spira occupa 0,5 mm, a la lunghezza totale L del resistore è 10 cm. Trovare la tensione in uscita V₀ in funzione dello spostamento del carrello, x.

Figura 2.25 Trasduttore resistivo a spostamento

Soluzione:
Il numero totale di spire nel resistore è dato dalla seguente espressione:

Ciò significa che la resistenza totale da 0 a L è pari a 20 Ω. Pertanto, possiamo determinare la relazione tra la posizione del carrello e la resistenza tra l'origine ed il punto x come segue:

R(x) = (20/10)x = 2x Ω

dove x è la distanza misurata in centimetri. La tensione in uscita può essere trovata considerando la legge di Ohm (2.14):

I = 10 V/ 20 Ω = 0,5 A     da cui      V₀ = IR(x) = (0,5)2x = x

Così, la posizione relativa del carrello mobile, in centimetri, è numericamente uguale alla tensione V₀.

2.6.6 Una applicazione pratica: gli strain gauges

Gli strain gauges sono dispositivi che vengono attaccati sulla superficie di un oggetto, ad esempio un provino, e la cui resistenza varia in funzione della deformazione cui va soggetto il provino dopo l'applicazione dello strain gauge. Gli strain gauges possono essere usati per misure di deformazione, sforzo, torsione e compressione. Si è visto che la resistenza di un conduttore cilindrico di sezione trasversale A, lunghezza L e conduttività σ è data dall'espressione:

R = L / (σA)

Se il conduttore è compresso o allungato come conseguenza dell'applicazione di una forza esterna, cambieranno le sue dimensioni, e con esse la resistenza. In particolare, se il conduttore è teso, diminuirà la sua sezione trasversale ed aumenterà la resistenza. Se il conduttore è invece compresso, la sua resistenza diminuisce, in quanto diminuirà la lunghezza L. La relazione tra variazione di resistenza e variazione di lunghezza è data dal fattore di Gauge G definito da:

G = (ΔR / R) / (ΔL / L)

e poiché la deformazione ε è definita dalla formula ε = ΔL/L, la variazione di resistenza a seguito di una deformazione applicata ε è data dall'espressione:

ΔR = R₀Gε

dove R₀ è la resistenza dello strain gauge in assenza di deformazione, ed è detta resistenza a deformazione zero.

a)	b)
Figura 2.25 Strain gauge a resistenza: a) simbolo fisico, b) simbolo circuitale

Il valore di G per strain gauges costituiti da una lamina di metallo è usualmente 2. La figura 2.26a mostra un tipico strain gauge in lamina di metallo. La lamina è ottenuta mediante un processo di fotoincisione ed il suo spessore è inferiore a 0,00002 m.
   Valori tipici di resistenza sono 120, 350 a 1000 Ω. Le aree più ampie sono delle piazzole (pads in inglese) per la connessione elettrica. La deformazione massima che può essere misurata da uno strain gauge a lamina va da circa lo 0.4 allo 0.5%: cioè si ha un rapporto ΔL/L= 0.004-0.005. Per uno strain gauge a 120 Ω, ciò corrisponde ad una variazione di resistenza dell'ordine dei 0.96 fino a 1.2 Ω.
   Benché questa variazione di resistenza sia molto piccola, essa può essere misurata tramite un'opportuna circuiteria. Esistono anche strain gauges a cristalli di silicio opportunamente drogati. Gli strain gauges a resistenza sono solitamente connessi ad un circuito chiamato ponte di Wheatstone, che vedremo in seguito.