Quando un generatore dipendente è presente in un circuito che deve essere studiato con l'analisi per nodi o per maglie, lo si può trattare, inizialmente, come un generatore ideale, scrivendo le equazioni nodali o di maglia conseguenti. In aggiunta ad esse, ci sarà anche un'equazione che correla il generatore dipendente ad una delle correnti o tensioni del circuito.
Questa equazione di vincolo può quindi essere sostituita nel set di equazioni ottenute per mezzo delle tecniche dell'analisi per nodi e per maglie, e si può, poi, procedere nella risoluzione del sistema di equazioni così ottenuto.
Figura 3.22
E' assai importante rimarcare che, una volta che l'equazione di coercizione è stata sostituita nel sistema di equazioni, il numero di incognite rimane lo stesso. Consideriamo, per esempio, il circuito di figura 3.22, che è un modello semplificato di un transistore amplificatore bipolare.
Nel circuito di figura 3.22 si individuano facilmente due nodi, e pertanto scegliamo il metodo dell'analisi per nodi. Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo 1, otteniamo la seguente equazione:
iS = v1(1/RS + 1/Rb) (F3.23)
La stessa legge di Kirchhoff applicata al secondo nodo ci dà:
-75ib = v2/RC (F3.24)
Si può osservare come la corrente ib può essere determinata per mezzo del partitore di corrente (Cfr. Lezione 2.8):
ib = iS × RS/(Rb + RS) (F3.25)
e, pertanto, si ottiene un sistema di due equazioni:
 |
iS = v1(1/RS + 1/Rb) | (F3.26) |
| -75iS= (v2/RC) × (Rb + RS)/RC |
che può essere risolto per ricavare v1 e v2. Si noti che, in questo particolare caso, le due equazioni sono indipendenti l'una dall'altra. Il seguente esempio illustra un caso in cui le equazioni che risultano non sono indipendenti.
Risolveremo ora il circuito di figura 3.23 con il metodo delle correnti di maglia.
Figura 3.23
Il generatore dipendente vX dipende dalla corrente di maglia i2 secondo la relazione vX = 0.5i2 (è l'equazione di coercizione). In base alla tecnica di risoluzione proposta all'inizio di questa Lezione, dapprima scriviamo le equazioni di maglia convenzionali, trattando vX come un generatore ideale indipendente:
|
VX - 6 = 5i1 | maglia 1 |
| 6 = (2 + 4)i2 | maglia 2 |
Sostituendo l'equazione di coercizione nell'equazione della maglia 1, si ha 0.5i2 - 6 = 5i1. Dall'equazione della maglia 2, si ottiene: i2 = 1 A. Dall'equazione della maglia 1 si ottiene, perciò: i1 = -1.1 A.
Si può verificare che la soluzione è corretta applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla prima maglia (lo si lascia per esercizio).
Le tecniche presentate in questa e nelle Lezioni precedenti trovano uso più generale che nella sola analisi dei circuiti con elementi resistivi. Questi metodi devono essere visti come tecniche generali per l'analisi di ogni circuito lineare; essi forniscono strumenti sistematici ed efficaci per ottenere il minor numero di equazioni necessarie a risolvere un problema sulle reti.
Poiché questi metodi sono basati sulle leggi fondamentali dell'analisi dei circuiti, cioè le due leggi di Kirchhoff, essi si applicano ad ogni circuito elettrico, perfino a circuiti contenenti elementi circuitali non lineari. E' pertanto opportuno acquisire al più presto familiarità con queste tecniche, perché ciò favorirà il processo di apprendimento.
1) In figura 3.24 il generatore di corrente ix è correlato alla tensione vx dalla relazione ix = vx / 3 . Trovare la tensione ai capi del resistore da 8 Ω tramite l'analisi per nodi. [Soluzione: 12 V]
2) In figura 3.25, trovare la corrente incognita ix usando il metodo delle correnti di maglia. Il generatore dipendente di tensione è correlato alla corrente i12 che attraversa il resistore da 12 Ω in base alla relazione: vx = 2i12. [Soluzione: 1,39 A]
 Figura 3.24 |
 Figura 3.25 |
By Damiano Martorelli L'analisi per maglie è particolarmente efficace quando è applicata a circuiti che contengono esclusivamente generatori di tensione; tuttavia, la si può applicare anche a circuiti misti, in cui siano presenti generatori sia di tensione, sia di corrente, purché si presti attenzione nell'identificare l'appropriata corrente in ciascuna maglia.
Figura 3.18
Illustriamo il metodo risolvendo il circuito di figura 3.18. La prima osservazione da fare nell'analizzare il circuito è che la presenza del generatore di corrente richiede che sia verificata la seguente relazione:
i1 - i2 = 2 A (F3.17)
Se la tensione incognita ai capi del generatore di corrente è etichettata con vX , applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia n° 1, otteniamo:
10 = 5i1 + vX (F3.18)
mentre applicandola alla maglia n° 2, si ricava:
vX = 2i2 + 4i2 (F3.19)
Sostituendo l'equazione 3.19 nell'equazione 3.18, ed usando l'equazione 3.17, si ottiene il seguente sistema di equazioni:
|
5i1 + 6i2 = 10 | (F3.20) |
| -i1 + i2 = -2 |
che possiamo risolvere, ottenendo:
i1 = 2 A i2 = 0 A (F3.21)
Si noti anche che la tensione ai capi del generatore di corrente può essere ricavata usando o l'equazione 3.18, oppure l'equazione 3.19; per esempio, usando l'equazione 3.19:
vX = 6i2 = 0 V (F3.22)
Vogliamo risolvere il circuito di figura 3.19, usando l'analisi per maglie. Iniziando dalla maglia n° 1, possiamo immediatamente vedere che il generatore di corrente fa si che i1 = 0.5 A; quindi non è necessario scrivere altre equazioni per la maglia n° 1, in quanto il valore della corrente di maglia i1 è gia noto.
Figura 3.19
Da questo punto di vista, il generatore di corrente ha nei fatti semplificato il problema!
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alle maglie, otteniamo per la maglia 2:
6(i2 - i3) + 8(i2 - i1) = 6
mentre applicandola alla maglia n° 3, si ricava:
3(i3 - i1) + 6(i3 - i2) + 4i3 = 0
Riordinando le equazioni e sostituendo il valore noto di i1, otteniamo un sistema di due equazioni in due incognite:
|
14i2 - 6i3 = 10 |
| -6i2 + 13i3 = 1.5 |
che, risolto, dà: i2 = 0.95 A, i3 = 0.55 A. Al solito, viene lasciata per esercizio la verifica, tramite l'applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti, che la soluzione è corretta.
Proponiamo qui un paio di esercizi per prendere dimestichezza con quanto visto in questa lezione.
 Figura 3.20 |
 Figura 3.21 |
By Damiano Martorelli Un secondo metodo per l'analisi dei circuiti, per molti aspetti analogo al metodo delle tensioni di nodo, utilizza le correnti di maglia come variabili indipendenti. L'idea è quella di scrivere l'appropriato numero di equazioni, usando le correnti di maglia come variabili.
Questo metodo, tuttavia, non è altrettanto ampiamente applicabile come l'analisi per nodi, in quanto esiste una classe di circuiti, chiamati circuiti non-planari, che non si può trattare con l'analisi delle correnti di maglia, mentre possono essere risolti con l'analisi per nodi. L'analisi delle correnti di maglia consiste nel definire le correnti all'intorno delle singole maglie come variabili indipendenti. La successiva applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni all'intorno di ogni maglia fornisce il sistema di equazioni desiderato.
Figura 3.10 Base dell'analisi per maglie.
Nel metodo delle correnti di maglia, si osserva che la corrente i che passa attraverso un resistore R in una determinata direzione definisce la polarità della tensione ai capi del resistore, come illustrato in figura 3.10, e che la somma delle tensioni all'interno di un circuito chiuso deve essere eguale a zero in base alla legge di Kirchhoff.
Figura 3.11 Uso della legge di Kirchhoff delle tensioni.
Una volta stabilita la convenzione riguardante la direzione di moto della corrente all'intorno di una maglia, la semplice applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni fornisce l'equazione desiderata. Ad esempio, nel circuito di figura 3.11, l'applicazione della legge di Kirchhoff comporta:
v1 = v2 + v3
Il numero di equazioni che si ottengono con questa metodologia è pari al numero di maglie nel circuito. Tutte le correnti e le tensioni di ramo possono, di conseguenza, essere ottenute dalle correnti di maglia, come ora mostreremo. Poiché risulta facile identificare le maglie nel circuito, questo metodo fornisce una procedura efficiente e sistematica per l'analisi dei circuiti elettrici.
L'applicazione del metodo ad un circuito lineare richiede i seguenti passi:
Nell'analisi per maglie, è importante scegliere coerentemente la direzione della corrente. Per illustrare il metodo delle correnti di maglia, consideriamo il semplice esempio di figura 3.12. Si tratta di un circuito con due maglie, e dunque si avranno due equazioni in due incognite, le correnti di maglia i1 ed i2.
Figura 3.12 Circuito a due maglie.
E' istruttivo considerare inizialmente ciascuna maglia presa singolarmente. Iniziando con la maglia n° 1, si noti come le tensioni nella maglia siano state assegnate in figura 3.13 in base alla direzione della corrente di maglia, i1.
Ricordiamo che una volta che si siano assegnati i segni coerentemente, per ogni corrente nel circuito si può assumere una direzione arbitraria: se il valore numerico che si ricava dai calcoli è negativo, significa che la direzione di riferimento scelta è opposta alla direzione effettiva della corrente. Perciò, non bisogna preoccuparsi dell'effettiva direzione della corrente nell'analisi per maglie, una volta assegnate la direzione delle correnti di maglia: la soluzione corretta discenderà dai calcoli, alla fine.
Figura 3.13 Assegnazione delle correnti e delle tensioni nella maglia n° 1.
In base alla convenzione di segno, allora, le tensioni v1 e v2 sono definite come mostrato in figura 3.13. Ora, è importante osservare che mentre la corrente di maglia i1 è uguale alla corrente che attraversa il resistore R1 (e perciò è anche la corrente di ramo che attraversa R1), non è uguale alla corrente che passa attraverso R2.
La corrente di ramo attraverso R2 è la differenza tra le due correnti di maglia, i1 * i2. Di conseguenza, dal momento che la polarità della tensione v2 è gia stata assegnata, in base alla convenzione sopra discussa, si ha che la tensione v2 è data da:
v2 = (i1 - i2) R2 (3.12)
L'applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni richiede che vS = v1 + v2 dove:
v1 = i1R1 v2 = (i1 - i2) R2
Alla fine, l'espressione completa per la maglia 1 è:
vS = i1R1 + (i1 - i2) R2 (3.13)
La stessa linea di ragionamento si applica alla seconda maglia.
Figura 3.14 Assegnazione delle correnti e delle tensioni nella maglia n° 2.
La figura 3.14 mostra come sono assegnate le tensioni nella seconda maglia, seguendo la direzione oraria della corrente di maglia i2. La corrente di maglia i2 è anche la corrente di ramo che passa attraverso i resistori R3 e R4; tuttavia, la corrente che passa attraverso il resistore condiviso dalle due maglie, R2, è ora uguale a (i2 * i1), e la tensione ai capi di questo resistore è:
v2 = (i2 - i1) R2 (3.14)
L'applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni richiede che:
0 = v2 + v3 + v4
dove:
v2 = (i2 - i1) R2 v3 = i2 R3 v4 = i2 R4
La completa espressione per la maglia 2 è, quindi:
0 = (i2 - i1) R2 + i2 R3 + i2 R4 (3.15)
Perché l'espressione per v2 ottenuta nell'equazione 3.14 è diversa da quella dell'equazione 3.12? La ragione per questa apparente discrepanza è che l'assegnazione delle tensioni per ciascuna maglia è stata dettata dal verso orario delle correnti di maglia. Pertanto, dal momento che le correnti di maglia attraversano R2 in direzioni opposte, l'assegnazione della polarità della tensione v2 nelle due maglie sarà anch'essa opposta.
Ciò è forse una possibile sorgente di confusione nell'applicare il metodo delle correnti di maglia; occorre, perciò, prestare la massima attenzione nell'assegnare separatamente le tensioni in ciascuna maglia. Riordinando e mettendo insieme le equazioni di ciascuna maglia, otteniamo il seguente sistema di equazioni:
|
(R1 + R2) i1 - R2i2 = vS | (F3.16) |
| - R2i1 + (R2 + R3 + R4)i2 = 0 |
Queste equazioni possono essere risolte simultaneamente per ottenere la soluzione desiderata, cioè le correnti di maglia i1 e i2. Si può verificare (e lo si lascia per esercizio) che la conoscenza delle correnti di maglia consente la determinazione di tutte le altre tensioni e correnti nel circuito. I seguenti esempi illustrano ulteriormente alcuni dei dettagli di questo metodo.
In questo esempio, analizziamo un semplice circuito a due maglie, mostrato in figura 3.15, per mezzo del metodo delle correnti di maglia.
Figura 3.15
Il circuito di figura 3.15 ci darà due equazioni in due incognite, i1 e i2. Consideriamo le due maglie separatamente nello scrivere le equazioni di maglia; in figura 3.16 sono mostrate le assegnazioni delle tensioni nelle due maglie, in base ai versi assunti per le correnti di maglia. Dalla figura 3.16, scriviamo le equazioni di maglia:
|
5i1 + 10(i1 - i2) = 10 - 9 |
| 5i2 + 5i2 + 10(i2 - i1) = 9 - 1 |
 Analisi della maglia n° 1 |
 Analisi della maglia n° 2 |
| Figura 3.16 | |
Riordinando il sistema di equazioni lineari, si ottiene:
|
15i1 - 10i2 = 1 |
| -10i1 + 10i2 = 8 |
che può essere risolta, ricavando: i1 = 0.5 A e i2 = 0.65 A.
Vogliamo scrivere le equazioni di maglia per il circuito di figura 3.17. Iniziando dalla maglia n° 1, applichiamo la legge di Kirchhoff delle tensioni, usando la direzione della corrente di maglia i1 come nostro riferimento per l'assegnazione delle tensioni:
 Figura 3.17 |
12 = 3(i1 - i3) + 8(i1 - i2)
Per la maglia n° 2, otteniamo:
6 = 6(i2 - i3) + 8(i2 - i1)
ed infine, per la maglia n° 3, si ha:
0 = 3(i3 - i1) + 6(i3 - i2) + 4i3
Riordinando i termini e mettendo le equazioni in sistema, si ha:
 |
(3 + 8)i1 - 8i2 - 3i3 = 12 |
| -8i1 + (6 + 8)i2 - 6i3 = 6 | |
| -3i1 -6i2 + 3(3 + 6 + 4)i3 = 0 |
Si può controllare che la legge di Kirchhoff delle correnti è verificata ad ogni nodo; è questo infatti un buon test della correttezza della soluzione.
By Damiano Martorelli Dagli esempi riportati nelle lezioni precedenti, dovrebbe apparire che il metodo delle tensioni di nodo si applica molto facilmente in un circuito quando sono presenti generatori di corrente, giacché i generatori di corrente vengono direttamente presi in conto dalla legge di Kirchhoff delle correnti. Un po' di confusione sorge, tuttavia, quando si applica il metodo ad un circuito in cui sono presenti generatori di tensione.
Nella realtà, la presenza di generatori di tensione semplifica i calcoli. Per illustrare meglio questo fatto, si consideri il circuito di figura 3.8.
Figura 3.8
Come si vede, si hanno quattro nodi: presone uno come riferimento (in questo caso quello in basso), restano i nodi a, b e c. Ma si nota immediatamente che il potenziale (tensione) del nodo a è già noto! La tensione di nodo è infatti forzata ad essere uguale a quella del generatore di tensione, cioè deve essere va = vS, giacché il generatore si trova tra il nodo a ed il nodo di riferimento (che ha, per nostra conveniente scelta, potenziale nullo).
L'applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo a, che darebbe:
ivs = (va - vb) / R1
è dunque ridondante; quindi, saranno necessarie solo due equazioni nodali, quella del nodo b e quella del nodo c. Si ha dunque:
|
i1 = i2 + i3 |
| i3 + iS = i4 |
e quindi, riscrivendole in termini di potenziali:
|
(vS - vb) / R1 = (v / R2) + (vb + vc) / R3 | (F3.10) |
| (vb - vc) / R3 + iS = vc / R4 |
Riordinando i termini, otteniamo:
|
(1/R1 + 1/R2 + 1/R3) / vb + (- 1/R3)vc = vS / R1 | (F3.11) |
| (- 1/R3) vb + (1/R3 + 1/R4)vc = iS |
Si noti che il termine vS /R1 a secondo membro della prima equazione ha le dimensioni di una corrente, come richiesto dalla natura delle equazioni nodali.
By Damiano Martorelli La risoluzione di sistemi di equazioni, quali quelli che si incontrano sovente nella teoria dei circuiti, può essere ottenuta in maniera relativamente semplice usando la regola di Cramer. Il metodo si applica a sistemi di equazioni K × K con K ∈ N, K ≥ 2; infatti la regola di Cramer richiede l'uso del concetto di determinante che viene dall'algebra lineare. Il metodo del determinante è valido perché è sistematico, generale ed utile nella risoluzione di problemi complicati. Il determinante di una matrice quadrata A con 2 righe e 2 colonne si indica così:
| det A = |  |
a11 | a12 | |
|
| a21 | a22 |
e si definisce come segue: det A = a11a22 - a12a21
Per una matrice A di terzo ordine (cioè 3 × 3) si ha:
| det A = |  |
a11 | a12 | a13 | |
||
| a21 | a22 | a23 | |||||
| a31 | a32 | a33 |
ed il determinante è definito in questo modo:
det A = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Per determinanti di ordine superiore, si faccia riferimento ad un libro di algebra lineare. Per illustrare il metodo di Cramer, risolveremo ora un sistema di due equazioni in forma generale. Un sistema di due equazioni algebriche lineari può essere scritto nella forma:
|
a11x1 + a12x2 = b1 |
| a21x1 + a22x2 = b2 |
dove x1 ed x2 sono le incognite del sistema. I coefficienti a11, a12, a21 ed a22 sono quantità note. Le due quantità b1 e b2 sono anch'esse quantità note (tipicamente, esse sono le correnti o le tensioni dei generatori in problemi relativi a circuiti). Il sistema di equazioni può essere riscritto in forma matriciale come segue:
 |
a11 | a12 |  |
|
x1 | |
= | |
b1 | |
|
| a21 | a22 | x2 | b2 |
forma che è del tipo A × x = b. La regola di Cramer consente di trovare le componenti x1 ed x2 del vettore soluzione mediante la formula generale:
| |A*| | ||
| xi | = |  |
| |A| |
Come si vede, la soluzione è data dal rapporto dei determinanti di due matrici, ove A* è come la matrice A tranne per il fatto che i coefficienti della colonna i-esima (che è la colonna dei coefficienti della variabile che si va a calcolare) sono stati sostituiti dai coefficienti del vettore b. Nel nostro caso si ha perciò:
|
b1 | a12 | |
|||
| b2 | a22 | |||||
| x1 | = |  |
||||
|
a11 | a12 | |
|||
| a21 | a22 | |||||
|
a11 | b1 | |
|||
| a21 | b2 | |||||
| x2 | = |  |
||||
|
a11 | a12 | |
|||
| a21 | a22 | |||||
Vedremo tra qualche lezione in dettaglio che in un problema di analisi dei circuiti, i coefficienti matriciali sono costituiti dai valori delle resistenze (oppure delle conduttanze), il vettore delle incognite è costituito dalle correnti di maglia (oppure dalle tensioni di nodo), ed il vettore soluzione contiene i valori delle tensioni (o delle correnti) dei generatori. Nella pratica, nei sistemi di ordine superiore al 3° i calcoli sono molti, per cui si devono impiegare opportuni software per la risoluzione dei problemi più complessi.
Il sistema di equazioni trovato nell'esempio 3.2.2 può essere risolto con la regola di Cramer; possiamo infatti scrivere:
|
3 | -2 | |
|
va | |
= | |
1 | |
|
| -2 | 2,67 | v2 | 2 |
Le due incognite possono essere agevolmente ricavate:
|
1 | -2 | |
||||||||
| 2 | 2,67 | (1)(2,67) - (-2)(-2) | 6,67 | ||||||||
| va | = | |
= | |
= | |
= 1,667 | ||||
|
3 | -2 | |
(3)(2,67) - (-2)(-2) | 4 | ||||||
| -2 | 2,667 | ||||||||||
|
3 | 1 | |
||||||||
| -2 | 2 | (3)(2) - (-2)(1) | 8 | ||||||||
| vb | = | |
= | |
= | |
= 2 | ||||
|
3 | -2 | |
(3)(2,67) - (-2)(-2) | 4 | ||||||
| -2 | 2,667 | ||||||||||
Come si vede, il risultato che si ottiene è lo stesso.
By Damiano Martorelli Pagina 2 di 4
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